Question

16．设实数a，x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2a-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}+2a-3}\end{array}\right.$，则xy的取值范围是（　　）

• A． [2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• B． [$\frac{11}{4}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• C． [2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{11}{4}$+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]
• D． [$\frac{11}{4}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{11}{4}$+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]

Answer 1

分析 先求出2xy的表达式，结合基本不等式的性质解关于a的不等式，解出即可．

解答 解：实数a，x，y，满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2a-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}+2a-3}\end{array}\right.$，
①²-②解得：2xy=3a²-6a+4，∵a²+2a-3≥0，∴a≥1或a≤-3．
根据圆心到直线的距离小于或等于半径，
得：$\frac{|2a-1|}{\sqrt{2}}$≤$\sqrt{{a}^{2}+2a-3}$，
解得2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
令g（x）=$\frac{1}{2}$（3a²-6a+4），对称轴a=1，1∉[2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴a=2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时：g（x）最小：$\frac{11}{4}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
a=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$时：g（x）最大：$\frac{11}{4}$+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
xy∈[$\frac{11}{4}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，$\frac{11}{4}$+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$]，
故选：D．

点评 本题考查了简单的线性规划问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．