Question

【题目】如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，底面△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A1B⊥B1C．
（1）求证：直线AC⊥直线BB1；
（2）若直线BB1与底面ABC成的角为60°，求二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：连接AB1，

∵侧面AA1B1B为菱形，

∴AB1⊥A1B，

又AB1与BC1相互垂直，AB1∩B1C=B1，

∴A1B⊥平面AB1C，

∴A1B⊥AC，又AC⊥AB，AB∩A1B=B，

∴AC⊥平面AA1B1B，

∵BB1平面AA1B1B，∴直线AC⊥直线BB1；

（2）解：由（1）知，平面ABC⊥平面AA1B1B，由B1作AB的垂线，垂足为D，则BD⊥平面ABC，

∴∠B1BA=60°，得D为AB的中点，

过A作DB1的平行线，交A1B1于E点，则AE⊥平面ABC，

建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2，

则 为平面AB1B的一个法向量，

则B（2，0，0），C（0，2，0）， ，

设平面AB1B的法向量 ，

由 ，取x= ，得 ，

∴cos＜ ＞= ，

故二面角A﹣BB1﹣C的余弦值为 ．

【解析】（1）连接AB1，由已知可得AB1⊥A1B，进一步得到A1B⊥平面AB1C，可得A1B⊥AC，结合AC⊥AB，利用线面垂直的判定可得AC⊥平面AA1B1B，则直线AC⊥直线BB1；（2）由（1）知，平面ABC⊥平面AA1B1B，由B1作AB的垂线，垂足为D，则BD⊥平面ABC，可得∠B1BA=60°，得D为AB的中点，过A作DB1的平行线，交A1B1于E点，则AE⊥平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2，可得 为平面AB1B的一个法向量，再求出平面AB1B的法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．