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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=CC1=a,E是A1C1的中点,F是AB中点.
(1)求证:EF∥面BB1C1C;
(2)求直线EF与直线CC1所成角的正切值;
(3)设二面角E-AB-C的平面角为θ,求tanθ的值.
分析:(1)通过面面平行⇒线面平行;
(2)根据线面垂直关系,判定直线在平面内的射影,证角符合线面角定义,再求角.
(3)可根据三垂线定理作二面角的平面角,再通过解三角形求角.
解答:解:(1)证明:取AC的中点G,连接EG、FG,
∵EG∥CC1,CC1?平面EFG,∴CC1∥平面EFG,
同理:BC∥平面EFG,
又∵BC、CC1?平面BCC1B1,∴平面EFG∥平面BCC1B1
(2)∵直三棱柱ABC-A1B1C1
∴EG⊥平面ABC
∵EG∥CC1,∠FEG为直线EF与CC1所成的角
△EFG为Rt△,∴tan∠FEG=
FG
EG
=
1
2
a
a
=
1
2

(3)取AF的中点H,连接GH、EH,
∵AC=BC,∴CF⊥AB,
又∵GH∥CF,∴GH⊥AB,
有(2)知EG⊥平面ABC,∴GH为EH在平面ABC中的射影,
∴∠EHG为二面角E-AB-C的平面角,
又△EHG是直角三角形,且∠HGE=90°,HG=
1
2
FC=
2
4
a
,EG=CC1=a,
tanθ=
EG
HG
=
a
2
4
a
=2
2
点评:本题考查线面平行的判定、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角.空间角的求法:1、作角(作平行线或垂线);2、证角(符合定义);3、求角(解三角形).
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.

(I)求证:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; 

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.

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科目:高中数学 来源:2011年四川省招生统一考试理科数学 题型:解答题

 

 (本小题共l2分)

    如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一[来源:]

P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.

(I)求证:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.

 

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科目:高中数学 来源:2011年高考试题数学理(四川卷)解析版 题型:解答题

 (本小题共l2分)

    如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一

P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.

(I)求证:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.

 

 

 

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科目:高中数学 来源:四川省高考真题 题型:解答题

如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中,∠ BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA。
(I)求证:CD=C1D;
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离

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科目:高中数学 来源: 题型:

    如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.

(I)求证:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.

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