Question

已知向量m=(sinA，  

1

2

)与n=(3，  sinA+

3

cosA)共线，其中A是△ABC的内角．
（1）求角A的大小；
（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）根据向量平行得出角2A的等式，然后根据两角和差的正弦公式和A为三角形内角这个条件得到A．
（2）根据余弦定理代入三角形的面积公式，判断等号成立的条件．

解答：解：（1）因为

m

∥

n

，所以sinA•(sinA+

3

cosA)-

3

2

=0；
所以

1-cos2A

2

+

3

2

sin2A-

3

2

=0，
即

3

2

sin2A-

1

2

cos2A=1，
即sin(2A-

π

6

)=1．
因为A∈（0，π），所以2A-

π

6

∈(-

π

6

，  

11π

6

)．
故2A-

π

6

=

π

2

，A=

π

3

；
（2）由余弦定理，得4=b²+c²-bc．
又S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc，
而b²+c²≥2bc?bc+4≥2bc?bc≤4，（当且仅当b=c时等号成立）
所以S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

4

×4=

3

；
当△ABC的面积取最大值时，b=c．又A=

π

3

；
故此时△ABC为等边三角形．

点评：本题为三角函数公式的应用题目，属于中档题