Question

如图，过抛物线C：x²=4y的对称轴上一点P（0，m）（m＞0）作直线l与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，点Q是P关于原点的对称．
（1）求证：x₁x₂=-4m；
（2）设P分有向线段

AB

所成的比为λ，若

QP

⊥(

QA

-μ

QB

)，求证：λ=μ．

Answer 1

分析：（1）设l方程为：y=kx+m，与抛物线的方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系即可得出；
（2）由P分有向线段

AB

所成的比为λ得

x1

x2

=-λ，利用

QP

⊥(

QA

-μ

QB

)，可得

QP

•(

QA

-μ

QB

)=0，即可得出．

解答：证明：（1）设l方程为：y=kx+m，与抛物线的方程联立

y=kx+m x2=4y

得x²-4kx-4m=0，
∴x₁x₂=-4m．
（2）由P分有向线段

AB

所成的比为λ得

x1

x2

=-λ，
∵

QP

=（0，2m），

QA

=(x1，y1+m)，

QB

=(x2，y2+m)，
∴

QA

-μ

QB

=（x₁-μx₂，y₁+m-μ（y₂+m）），
∵

QP

⊥(

QA

-μ

QB

)，∴2m[y₁-μy₂+（1-μ）m]=0，
又y1=

x 2 1

4

，y2=

x 2 2

4

．
∴

x12

4

-μ

x22

4

+(1-μ)m=0，
把x₁x₂=-4m代入上式得

x 2 1

4

-μ

x 2 2

4

+(1-μ)•

-x1x2

4

=0，
∴(

x1

x2

)2-(1-μ)

x1

x2

-μ=0，
化为λ²+（1-μ）λ-μ=0，
∴λ=-1或λ=μ，而显然λ＞0，
∴λ=μ．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．