Question

17．由曲线y=x²和直线x=0，x=2，y=t²，t∈[0，2]围成的封闭图形的面积记为S．
（1）用t表示S．
（2）求S的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由图形将阴影部分的面积用定积分表示出来，再利用定积分的运算规则将面积表示为t的函数；
（2）求导数，确定函数的单调性，即可求S的最大值和最小值．

解答 解：（1）由题意及图象，曲线y=x²和直线y=t²交点坐标是（t，t²）
故阴影部分的面积是∫₀^t（t²-x²）d_x+∫_t²（-t²+x²）d_x=（t²x-$\frac{1}{3}$x³）|₀^t+（-t²x+$\frac{1}{3}$x³）|_t²=$\frac{4}{3}{t}^{3}-2{t}^{2}+\frac{8}{3}$；
（2）令p=$\frac{4}{3}{t}^{3}-2{t}^{2}+\frac{8}{3}$，则p′=4t²-4t=4t（t-1），
知p=$\frac{4}{3}{t}^{3}-2{t}^{2}+\frac{8}{3}$在[0，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数，
∴在t=1时取到最小值，面积的最小值是2；t=0时，面积最大，最大值为$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查求定积分，解题的关键是根据图象与函数解析式将面积用积分表示出来，利用积分的定义得到关于变量t的表达式，再研究其单调性求出最值，本题运算量较大涉及到的考点较多，综合性强，运算量大，极易因运算、变形出错．