Question

14．△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知b+c=a（cosB+$\sqrt{3}$sinB）．
（1）求∠A大小；
（2）若a=3，B=$\frac{π}{4}$，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理得sinA=$\frac{sinB+sinC}{cosB+\sqrt{3}sinB}$=$\frac{1+sinAcotB+cosA}{cotB+\sqrt{3}}$，由同角三角函数关系式求出sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此能求出A=$\frac{π}{3}$．
（2）由a=3，A=$\frac{π}{3}$，B=$\frac{π}{4}$，由正弦定理求出b，由此能求出S_△ABC．

解答 解：（1）∵△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，b+c=a（cosB+$\sqrt{3}$sinB）．
∴sinA=$\frac{sinB+sinC}{cosB+\sqrt{3}sinB}$=$\frac{sinB+sin[π-（A+B）]}{cosB+\sqrt{3}sinB}$
=$\frac{sinB+sinAcosB+cosAsinB}{cosB+\sqrt{3}sinB}$=$\frac{1+sinAcotB+cosA}{cotB+\sqrt{3}}$，
∴sinAcotB+$\sqrt{3}sinA$=1+sinAcotB+cosA，
∴cosA=$\sqrt{3}sinA$-1，
∴sin²A+cos²A=$si{n}^{2}A+（\sqrt{3}sinA-1）^{2}$=1，
解得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或sinA=0（舍），
∵A是三角形内角，∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵a=3，A=$\frac{π}{3}$，B=$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{3}{sin\frac{π}{6}}=\frac{b}{sin\frac{π}{4}}$，解得b=$\frac{3sin\frac{π}{4}}{son\frac{π}{6}}$=$\frac{3×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×absinC$=$\frac{1}{2}×3×\sqrt{6}×sin（π-\frac{π}{3}-\frac{π}{4}）$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}×sin（\frac{π}{3}+\frac{π}{4}）$
=$\frac{3\sqrt{6}}{2}（sin\frac{π}{3}cos\frac{π}{4}+cos\frac{π}{3}sin\frac{π}{4}）$
=$\frac{3\sqrt{6}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}$）
=$\frac{9+3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查三角形中角的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、同角三角函数关系系的合理运用．