Question

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

2n+1an

an+2n

（n∈N）．
（1）证明：数列{

2n

an

}是等差数列；
（2）设b_n=n（n+1）a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）将a_n+1=

2n+1an

an+2n

（n∈N）两边取倒数并化简得

1

an+1

=

1

2n+1

+

1

2an

，两边再同乘以2ⁿ⁺¹，构造出

2n+1

an+1

-

2n

an

=1，从而数列{

2n

an

}是等差数列；
（2）由（1）得，b_n=n（n+1）a_n=n•2ⁿ，利用错位相消法求和．

解答： 解：（1）a_n+1=

2n+1an

an+2n

（n∈N）．两边取倒数并化简得

1

an+1

=

1

2n+1

+

1

2an

，两边再同乘以2ⁿ⁺¹，并移向得

2n+1

an+1

-

2n

an

=1，所以数列{

2n

an

}是以

2

a1

=2为首项，以1为公差的等差数列；且数列{

2n

an

}的通项公式为

2n

an

=2+（n-1）×1=n+1，从而数列{a_n}的通项公式为a_n=

2n

n+1

．
（2）由（1）得，b_n=n（n+1）a_n=n•2ⁿ，
数列{b_n}的前n项和S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
两边同乘以2得，2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
两式相减，得-S_n=2+2²+2³+…+n•2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ⁺¹
=-（n-1）×2ⁿ⁺¹-2，
所以S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2

点评：本题考查等差数列的证明，错位相消法求和，考查转化，构造，论证计算等能力．