Question

如图，底面为直角梯形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，E为A₁B₁的中点，且△ABE为等腰直角三角形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC．
（Ⅰ）求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出

EF

EA

；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明AB⊥平面EOD，即可证明AB⊥DE；
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（Ⅲ）根据线面平行的判定定理，结合空间直角坐标系即可得到结论．

解答：证明：（Ⅰ）取AB的中点O，连结EO，DO，
∵EB=EA，
∴EO⊥AB，
∵四边形ABCD是直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，
∴四边形OBCD为正方形，
∴AB⊥OD，
又EO，OD为平面EOD内的两条相交直线，
∴AB⊥平面EOD，由ED?平面EOD，
∴AB⊥DE
（Ⅱ）∵平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，
∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥OD，
由OD，OA，OE两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
∵△EAB为等腰直角三角形，
∴OA=0B=0D=0E，设OB=1，
则O（0，0，0），A（0，1，0），B（0，-1，0），C（1，-1，0），D（1，0，0），E（0，0，1），
∴

EC

=(1，-1，-1)，
平面ABE的一个法向量为

OD

=(1，0，0)，
设直线EC与平面ABE所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

EC

，

OD

＞|=

| EC • OD |

| EC || OD |

=

3

3

，
即直线EC与平面ABE所成角的正弦值是

3

3

．
（Ⅲ）存在F，且

EF

EA

=

1

3

时，有EC∥平面FBD，
证明如下：由

EF

=

1

3

EA

=(0，

1

3

，-

1

3

)，F（0，

1

3

，

2

3

），
∴

FB

=(0，-

4

3

，-

2

3

)，

BD

=(1，1，0)，
设平面FBD的法向量为

v

=(a，b，c)，
则

v • BD =0 v • FB =0

，即

a+b=0 - 4 3 b- 2 3 c=0

，
令a=1，则

v

=(1，-1，2)，
∵

EC

•

v

=(1，-1，-1)•(1，-1，2)=0，
即

EC

⊥

v

，
∵EC?平面FBD，
∴EC∥平面FBD．
即当F满足

EF

EA

=

1

3

时，有EC∥平面FBD．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，利用空间向量法是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．