Question

如图是一个从的”闯关”游戏.

规则规定:每过一关前都要抛掷一个在各面上分别标有1,2,3,4的均匀的正四面体.在过第n(n=1,2,3)关时,需要抛掷n次正四面体,如果这n次面朝下的数字之和大于则闯关成功.
(1)求闯第一关成功的概率;
(2)记闯关成功的关数为随机变量X,求X的分布列和期望。

Answer 1

(1) P=.
(2) X的分布列为
                                    
EX=

解析试题分析：(1)抛一次正四面体面朝下的数字有1,2,3,4四种情况,大于2的有两种情况,故闯第一关成功的概率为P=.
(2)记事件”抛掷n次正四面体,这n次面朝下的数字之和大于”为事件则抛掷两次正四面体面朝下的数字之和的情况如图所示,易知.

设抛掷三次正四面体面朝下的数字依次记为:x,y,z,
考虑x+y+z>8的情况,当x=1时,y+z>7有1种情况;
当x=2时,y+z>6有3种情况;当x=3时,y+z>5有6种情况;
当x=4时,y+z>4有10种情况.
故.
由题意知,X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X 
P(X 
P(X 
P(X.
∴X的分布列为
                                    
EX=
考点：古典概型概率的计算，独立事件同时发生的概率公式，随机变量的分布列及其期望。
点评：中档题，本题综合性较强，综合考查了古典概型概率的计算，独立事件同时发生的概率公式，随机变量的分布列及其期望。在（II）小题的解答中，注意就x+y+z的不同取值情况加以分析，易错易漏，应高度注意。此类问题比较典型，对计算能力、分析问题解决问题的能力要求较高。是高考题中的“应用问题”。