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    对于函数f（x），我们把使得f（x）=x成立的x成为函数f（x）的不动点．把使得f（f（x））=x成立的x成为函数的f（x）的稳定点，函数f（x）的不动点和稳定点构成结合分别记为A和B．即A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}，
    （1）请证明：A⊆B；
    （2）f（x）=x2-a （a∈R，x∈R），且A=B≠∅，求实数a的取值范围；若f（x）是R上的单调增函数，x0是函数的稳定点，问x0是函数的不动点吗？若是，请证明的你的结论，若不是，请说明理由．
    考点：集合的包含关系判断及应用,集合的表示法
    专题：集合
    分析：（1）A可能为∅，满足A⊆B⊆；而A≠∅时，容易得出：若x∈A，能得到x∈B，所以便有A⊆B；
    （2）先由A≠∅，得到a≥-
    1
    4
    ，而根据A⊆B则可将方程（x2-a）2-a=x变成（x2-x-a）（x2+x-a+1）=0．因为A=B，所以对于方程x2+x-a+1=0要么无实根，要么实根和方程x2-x-a=0的实根相同，根据这点即可求得a的取值范围；
    根据稳定点的定义，f（f（x0））=x0，然后根据f（x）在R上是增函数通过说明f（x0）＞x0和f（x0）＜x0都不存在，从而得到f（x0）=x0，所以得出x0是f（x）的不动点．
    解答： 解：（1）证明：①若A=∅，则A⊆B显然成立；
    ②若A≠∅，对任意的x∈A，f（x）=x；
    ∴f（f（x））=f（x）=x；
    ∴x∈B；
    ∴A⊆B；
    综上得A⊆B；
    （2）∵A≠∅；
    ∴方程x2-a=x有实根；
    ∴△=1+4a≥0，即a≥-
    1
    4
    ；
    又A⊆B，∴（x2-a）2-a=x；
    即x4-2ax2-x+a2-a=0的左边有因式x2-x-a；
    ∴（x2-x-a）（x2+x-a+1）=0；
    又A=B；
    ∴x2+x-a+1=0无实数根，或实数根是方程x2-x-a=0的根；
    ∴①若x2+x-a+1=0无实数根；
    △=1-4（-a+1）＜0；
    ∴a＜
    3
    4
    ；
    ②若x2+x-a+1=0有实根且实根是方程x2-x-a=0的根；
    由方程x2-x-a=0得，x2-a=x带入x2+x-a+1=0有：2x+1=0；
    ∴x=-
    1
    2
    带入x2-x-a=0得，a=
    3
    4
    ；
    ∴a的取值范围为[-
    1
    4
    ，
    3
    4
    ]；
    由题意x0是f（x）的稳定点，所以f（f（x0））=x0；
    ①假设f（x0）＞x0；
    ∵f（x）在R上的单调增函数；
    ∴f（f（x0））＞f（x0）；
    即x0＞f（x0）与f（x0）＞x0矛盾，所以不存在这种情况；
    ②若f（x0）＜x0，则：
    f（f（x0））＜f（x0）；
    即x0＜f（x0），矛盾，所以这种情况也不存在；
    ∴f（x0）=x0；
    ∴x0是f（x）的不动点．
    点评：考查空集是任何集合的子集，描述法表示集合，子集的概念，以及一元二次方程存在实根的情况和判别式△的关系，对单调增函数定义的运用，以及对不动点、稳定点定义的理解与运用．
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    2
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