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【题目】已知函数.

(1)当时,求函数的单调区间;

(2)若不等式对任意的正实数都成立,求实数的最大整数;

(3)当时,若存在实数使得求证: .

【答案】(1)单调减区间为,单调增区间为;(2);(3)证明见解析.

【解析】试题分析:(1时, 通过求导得出函数的单调性;(2可得对任意的正实数都成立,等价于对任意的正实数都成立,设,求出,即可求出实数的最大整数;(3)由题意,( ,得出上为减函数,在上为增函数若存在实数 ,则介于之间,根据函数单调性列出不等式组,即可求证.

试题解析:(1)当时,

时,

∴函数在区间上为减函数.

时,,令

时, ;当时,

∴函数在区间上为减函数,在区间上为增函数.

,综上, 的单调减区间为,单调增区间为.

2)由可得对任意的正实数都成立,即对任意的正实数都成立.

,则 可得

上为增函数,即上为增函数

又∵,

存在唯一零点,记为

时, ,当时,

在区间上为减函数,在区间上为增函数.

的最小值为.

,可得.

又∵

∴实数的最大整数为2.

(3)由题意,( ),

由题意可得, ,

时, ;当时,

∴函数上为减函数,在上为增函数.

若存在实数 ,则介于之间,不妨设.

上单减,在上单增,且,

∴当时,

,可得,故

又∵上单调递减,且

.

,同理,则,解得

.

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