【题目】已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若不等式对任意的正实数都成立,求实数的最大整数;
(3)当时,若存在实数且,使得,求证: .
【答案】(1)单调减区间为,单调增区间为;(2);(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)当时, ,通过求导得出函数的单调性;(2)由可得对任意的正实数都成立,等价于对任意的正实数都成立,设,求出,即可求出实数的最大整数;(3)由题意,( ),得出在上为减函数,在上为增函数,若存在实数, ,则介于之间,根据函数单调性列出不等式组,即可求证.
试题解析:(1)当时,
当时, ,
∴函数在区间上为减函数.
当时,,令,
当时, ;当时, ,
∴函数在区间上为减函数,在区间上为增函数.
且,综上, 的单调减区间为,单调增区间为.
(2)由可得对任意的正实数都成立,即对任意的正实数都成立.
记,则 ,可得,
令
∴在上为增函数,即在上为增函数
又∵,
∴存在唯一零点,记为 ,
当时, ,当时, ,
∴在区间上为减函数,在区间上为增函数.
∴的最小值为.
∵,
∴,可得.
又∵
∴实数的最大整数为2.
(3)由题意,( ),
令, 由题意可得, ,
当时, ;当时,
∴函数在上为减函数,在上为增函数.
若存在实数, ,则介于之间,不妨设.
∵在上单减,在上单增,且,
∴当时, ,
由,可得,故,
又∵在上单调递减,且
∴.
∴,同理,则,解得
∴.
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【题目】已知是二次函数,不等式<0的解集是(0,5),且在区间[-1,4]上的最大值是12.
(1)求的解析式.
(2)作出二次函数y=在 [-1,4]上的图像并求出值域.
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【题目】如图,双曲线的中心在坐标原点,焦点在轴上,为双曲线的顶点,为双曲线虚轴的端点,为右焦点,延长与交于点,若是锐角,则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
以平面直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点的直角坐标为,若直线的极坐标方程为,曲线的参数方程是,(为参数).
(1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;
(2)设直线与曲线交于两点,求.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为(为参数, ),以为极点, 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)求已知曲线和曲线交于两点,且,求实数的值.
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【题目】对于定义域为的函数,若存在区间,同时满足下列条件:①在上是单调的;②当定义域是时,的值域也是,则称为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是()
A. B. C. D.
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【题目】设集合A={x|(x-3)(x+a)<0,a∈R},集合B={x∈Z|x2-3x-4<0}.
(1)若A∩B的子集个数为4,求a的范围;
(2)若a∈Z,当A∩B≠时,求a的最小值,并求当a取最小值时A∪B.
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【题目】如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为
A. 4β+4cosβB. 4β+4sinβC. 2β+2cosβD. 2β+2sinβ
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