Question

【题目】对于定义在R上的函数f（x），如果存在实数a，使得f（a+x）f（a﹣x）=1对任意实数x∈R恒成立，则称f（x）为关于a的“倒函数”．已知定义在R上的函数f（x）是关于0和1的“倒函数”，且当x∈[0，1]时，f（x）的取值范围为[1，2]，则当x∈[1，2]时，f（x）的取值范围为 ， 当x∈[﹣2016，2016]时，f（x）的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】[ ，1]；[ ，2]
【解析】解：若函数f（x）是关于0和1的“倒函数”，
则f（x）f（﹣x）=1，则f（x）≠0，
且f（1+x）f（1﹣x）=1，
即f（2+x）f（﹣x）=1，
即f（2+x）f（﹣x）=1=f（x）f（﹣x），
则f（2+x）=f（x），
即函数f（x）是周期为2的周期函数，
若x∈[0，1]，则﹣x∈[﹣1，0]，2﹣x∈[1，2]，此时1≤f（x）≤2
∵f（x）f（﹣x）=1，
∴f（﹣x）= ∈[ ，1]，
∵f（﹣x）=f（2﹣x）∈[ ，1]，
∴当x∈[1，2]时，f（x）∈[ ，1]．
即一个周期内当x∈[0，2]时，f（x）∈[ ，2]．
∴当x∈[﹣2016，2016]时，f（x）∈[ ，2]．
所以答案是：[ ，1]，[ ，2]．