Question

【题目】设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使| A1B1|=| A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A. （，2] B. [，2） C. （，+） D. [，+）

Answer 1

【答案】A

【解析】 不妨令双曲线的方程为，

由及双曲线的对称性知关于轴对称，如图所示，

又因为满足条件的直线只有一对，

当直线与轴的夹角为时，双曲线的渐近线与轴夹角大于，

双曲线于直线才能有交点，

若双曲线的渐近线与轴的夹角为时，则无交点，则不可能存在，

当直线与轴的夹角为时，双曲线渐近线与轴的夹角大于，

双曲线与直线有一对交点，

若双曲线的渐近线与轴的夹角等于，也满足题中有一对直线，

但是如果大于，则有两对直线，不符合题意，

所以，即，所以，

因为，所以，所以，

所以，所以双曲线的离心率的范围是，故选A.