Question

15．已知函数f（x）=x²+2ax+a+1．
（1）当a=1时，求函数在区间[-2，3]上的值域；
（2）函数f（x）在[-5，5]上单调，求实数a的取值范围；
（3）求函数f（x）在[0，2]上的最小值g（a）的解析式．

Answer 1

分析 （1）将a=1的值代入f（x）的表达式，求出函数f（x）的解析式，从而求出函数的值域即可；
（2）先求出函数的对称轴，结合函数的单调性判断即可；
（3）通过讨论a的范围，根据函数的单调性判断g（a）的解析式即可．

解答 解：（1）因为函数f（x）=x²+2ax+a+1，
当a=1时：f（x）=x²+2x+2，x∈[-2，3]，
考虑函数f（x）的对称轴x=-1∈[-2，3]，
∴f_min（x）=f（-1）=1，
∴f_max（x）=f（3）=17；
∴函数的值域是[1，17]；
（2）∵函数f（x）在[-5，5]上单调，
∴函数的对称轴x=-a∉[-5，5]，
∴a∈（-∞，-5]∪[5，+∞）；
（3）①当-a＜0时，即a＞0函数f（x）=x²+2ax+a+1在区间[0，2]上是增函数，
故当x=0时，函数取得最小值是f（0）=a+1；
②当0≤-a≤2时，即-2≤a≤0由于函数f（x）=x²+2ax+a+1对称轴是x=-a，
故当x=-a时，函数在区间[0，2]上取得最小值是f（-a）=a²+a+1．
③当-a＞2时，即a＜-2函数f（x）=x²+2ax+a+1在区间[0，2]上是减函数，
故当x=2时，函数取得最小值是f（2）=5a+5．
综上可得 g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a+1，a＞0}\\{{a}^{2}+a+1，-2≤a≤0}\\{5a+5，a＜-2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．