Question

给出下列命题：
①函数y=sin（

2

3

x+

7π

2

）是偶函数；
②函数y=2^|x|的最小值是1；
③函数y=ln（x²+1）的值域是R；
④函数y=sin2x的图象向左平移

π

4

个单位，得到y=sin（2x+

π

4

）的图象
⑤函数f（x）=2^x-x²只有两个零点；
其中正确命题的序号是

①②⑤

．

Answer 1

分析：根据三角函数的诱导公式，结合余弦函数为偶函数得到①正确；根据绝对值非负的性质和指数函数的单调性，可得②正确；根据平方非负的性质和对数函数的单调性，可得③不正确；根据函数图象平移的公式，可得④不正确；根据指数函数y=2^x与二次函数y=x²的图象，可得函数f（x）=2^x-x²有3个零点，故⑤不正确．

解答：解：因为sin（

2

3

x+

7π

2

）=-cos

2

3

x，
所以函数y=sin（

2

3

x+

7π

2

）即y=-cos

2

3

x，是定义域上的偶函数，故①正确；
因为|x|≥0，可得y=2^|x|≥2⁰=1，故函数y=2^|x|的最小值是1，得②正确；
因为x²+1≥1，可得ln（x²+1）≥0，得函数y=ln（x²+1）的值域是[0，+∞），不是R，故③不正确；
将函数y=sin2x的图象向左平移

π

4

个单位，
到y=sin2（x+

π

4

）=sin（2x+

π

2

）的图象，而不是y=sin（2x+

π

4

）的图象，故④不正确；
对于⑤，因为函数ff（x）=2^x-x²的零点除了2和4，还有一个负数
所以函数f（x）=2^x-x²有3个零点，故⑤不正确
因此，正确命题的序号为①②⑤
故答案为：①②⑤

点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了余弦函数的奇偶性、指对数函数的图象与性质、函数的值域求法和函数图象平移公式等知识，属于中档题．