Question

在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，底面ABCD是菱形，∠A＝60°，E是AD的中点，F是PC的中点．
(Ⅰ)求证：BE⊥平面PAD；
(Ⅱ)求证：EF∥平面PAB；

Answer 1

(Ⅰ)证明：∵AB＝2，∴AE＝1，
∴BE²＝AB²＋AE²－2AB·AE·cos ∠A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，
∴AE²＋BE²＝1＋3＝4＝AB²，∴BE⊥AE.
又平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，
∴BE⊥平面PAD.

(Ⅱ)证明：取BC的中点G，连接GE，GF.则GF∥PB，EG∥AB，
又GF∩EG＝G，∴平面EFG∥平面PAB，∴EF∥平面PAB.
(Ⅲ)解：∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC.
∴点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离．
因为平面PBE⊥平面PBC.
又平面PBE∩平面PBC＝PB，
作EO⊥PB于O，则EO是E到平面PBC的距离，
且PE＝＝1，BE＝，∴PB＝2.
由EO·PB＝PE·EB，

∴EO＝＝.

略