Question

9．已知点A（2，5），直线l₁：x+1=0，l₂：x+y-3=0，根据下列条件，分别求△ABC的边BC所在直线的方程：
（1）1₁、l₂分别是边AB、AC上的高所在直线的方程；
（2）1₁、l₂分别是边AB、AC上的中线所在直线的方程；
（3）1₁、l₂分别是∠B、∠C的角平分线所在直线的方程．

Answer 1

分析 （1）设B（a，b），C（c，d），由已知得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-5}{a-2}=0}\\{a+b-3=0}\end{array}\right.$，且$\left\{\begin{array}{l}{\frac{d-5}{c-2}=1}\\{c+1=0}\end{array}\right.$，求出B（-2，5），C（-1，-2），由此能求出△ABC的边BC所在直线的方程．
（2）设B（a，b），C（c，d），由已知得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+2}{2}+1=0}\\{a+b-3=0}\end{array}\right.$，且$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2+c}{2}+\frac{5+d}{2}-3=0}\\{c+1=0}\end{array}\right.$，求出B（-2，5），C（-1，-2），由此能求出△ABC的边BC所在直线的方程．
（3）设B（a，b），C（c，d），求出1₁、l₂的交点I，l₁，l₂的夹角∠BIC，从而得到∠A=90°，求出直线AI，进而求出直线AB、AC，由此能求出求出B（-2，5），C（-1，-2），由此能求出△ABC的边BC所在直线的方程．

解答 解：（1）设B（a，b），C（c，d）
∵点A（2，5），直线l₁：x+1=0，l₂：x+y-3=0，
1₁、l₂分别是边AB、AC上的高所在直线的方程，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-5}{a-2}=0}\\{a+b-3=0}\end{array}\right.$，且$\left\{\begin{array}{l}{\frac{d-5}{c-2}=1}\\{c+1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=5}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{c=-1}\\{d=-2}\end{array}\right.$，
∴B（-2，5），C（-1，-2），
∴△ABC的边BC所在直线的方程为：
$\frac{y+2}{x+1}=\frac{5+2}{-2+1}$，整理，得：7x+y+9=0．
（2）设B（a，b），C（c，d），
∵点A（2，5），直线l₁：x+1=0，l₂：x+y-3=0，
1₁、l₂分别是边AB、AC上的中线所在直线的方程，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+2}{2}+1=0}\\{a+b-3=0}\end{array}\right.$，解得a=-4，b=7，∴B（-4，7），
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2+c}{2}+\frac{5+d}{2}-3=0}\\{c+1=0}\end{array}\right.$，解得c=-1，d=0，∴C（-1，0），
∴△ABC的边BC所在直线的方程为：
$\frac{y}{x+1}=\frac{7}{-4+1}$，整理，得：7x+3y+7=0．
（3）设B（a，b），C（c，d），
∵点A（2，5），直线l₁：x+1=0，l₂：x+y-3=0，
1₁、l₂分别是∠B、∠C的角平分线所在直线的方程，
∴解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+1=0}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，得1₁、l₂的交点I（-1，4），
l₂：x+y-3=0的斜率k₂=-1，倾斜角α₂=135°，
l₁：x+1=0的倾斜角α₁=90°，
∴l₁，l₂的夹角∠BIC=135°，∴∠A=90°，
直线AI：$\frac{y-4}{x+1}=\frac{5-4}{2+1}$，整理，得x-3y+13=0，
设AI的倾斜角为b，k_AI=tanb=$\frac{1}{3}$，
k_AB=tan（b-45°）=$\frac{tanb-tan45°}{1+tanbtan45°}$=$\frac{\frac{1}{3}-1}{1+\frac{1}{3}}$=-$\frac{1}{2}$，
k_AC=tan（b+45°）=$\frac{tanb+tan45°}{1-tanbtan45°}$=$\frac{\frac{1}{3}+1}{1-\frac{1}{3}}$=2，
∴直线AB：y-5=-$\frac{1}{2}$（x-2），整理，得x+2y-12=0，
直线AC：y-5=2（x-2），整理，得：2x-y+1=0，
解方程：$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-12=0}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，得x=-6，y=9，∴B（-6，9），
解方程：$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+1=0}\\{x+1=0}\end{array}\right.$，得x=-1，y=-1，∴C（-1，-1），
∴△ABC的边BC所在直线的方程为：
$\frac{y+1}{x+1}=\frac{10}{-5}$，整理，得：2x+y+3=0．

点评 本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意中点坐标公式、直线垂直的性质、夹角公式、直线方程等知识点的合理运用．