Question

任取x₁，x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，若f（）恒成立，则f（x）称为[a，b]上的凸函数．下列函数中①y=2^x，②y=log₂x，③y=-x²，④y=x在其定义域上为凸函数是（ ）
A．①②
B．②③
C．②③④
D．②④

Answer 1

【答案】分析：由凸函数的概念，得出凸函数的几何特征，根据几何特征可作出四个函数①y=2^x，②y=log₂x，③y=-x²，④y=x的图象，观察图象即可得到答案．
解答：解：根据题意：任取x₁，x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，若f（）恒成立，f（x）称为[a，b]上的凸函数知：
在函数y=f（x）的图象上任取不同的两点A、B，线段AB（端点除外）总在f（x）图象的上方，则函数f（x）为凸函数，
分别作出四个函数的图象，如图所示．
∴观察②y=log₂x，③y=-x²，④y=x在其定义域上的图象，满足凸函数的概念，
∴即②y=log₂x，③y=-x²，④y=x是凸函数．
故选C．
点评：本题考查函数的图象，关键在于作出符合凸函数的概念的函数图象，考查数形结合的思想，属于基础题．