Question

设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n.
(Ⅰ)若首项，公差，求满足的正整数k；
(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a_n}，使得对于一切正整数k都有成立

Answer 1

(Ⅰ)            (Ⅱ)见解析

【错解分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ)时极易根据条件“对于一切正整数k都有成立”这句话将k取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。
【正解】解：（I）当时
由，即  又.
（II）设数列{a_n}的公差为d，则在中分别取k=1,2,得

由（1）得 当
若成立         ,
若故所
数列不符合题意.当
若
若.
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：
①{a_n} : a_n=0，即0，0，0，…；②{a_n} : a_n=1，即1，1，1，…； ③{a_n} : a_n=2n－1，即1，3，5，…，