Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足ccosB+bcosC-3acosA=0．
（Ⅰ） 求cosA的值；　　
（Ⅱ） 若△ABC的面积是，求的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由正弦定理==化简已知的等式得：sinCcosB+sinBcosC-3sinAcosA=0，
即sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosA，
∴sin（B+C）=3sinAcosA，即sinA=3cosAsinA，
又sinA≠0，
∴cosA=；
（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形的内角，
∴sinA==，
由题意，得S_△ABC=bcsinA=bc=，
∴bc=，
则•=bccosA=×=．
分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式变形，再利用诱导公式化简，根据sinA不为0，即可求出cosA的值；
（Ⅱ）由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入求出bc的值，将所求式子利用平面向量的数量积运算法则化简后，将bc及sinA的值代入即可求出值．
点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，三角形的面积公式，同角三角函数间的基本关系，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．