(1)证明:设椭圆方程为
=1(a>b>0)①,则A(0,b),B(0,-b),T
.
AT:
=1②,BF:
=1③,解得交点C
,代入①得
=
=1,满足①式,则C点在椭圆上,即A、C、T
三点共线.
(2)解:过C作CE⊥x轴,垂足为E,则△OBF∽△ECF.
∵
=3
,CE=
b,EF=
c,则C
,代入①得
=1,∴a
2=2c
2,b
2=c
2.设P(x
0,y
0),则x
0+2
=2c
2.此时C
,AC=
c,S
△ABC=
·2c·
=
c
2,
直线AC的方程为x+2y-2c=0,P到直线AC的距离为d=
,
S
△APC=
d·AC=
·
·
c=
·c.只须求x
0+2y
0的最大值,
(解法1)∵(x
0+2y
0)
2=
+4
+2·2x
0y
0≤
+4
+2(
+
)=3(
+2
)=6c
2,∴x
0+2y
0≤
c.当且仅当x
0=y
0=
c时,(x
0+2y
0)
max=
c.
(解法2)令x
0+2y
0=t,代入
+2
=2c
2得(t-2y
0)
2+2
-2c
2=0,即6
-4ty
0+t
2-2c
2=0.Δ=(-4t)
2-24(t
2-2c
2)≥0,得t≤
c.当t=
c,代入原方程解得x
0=y
0=
c.
∴四边形的面积最大值为
c
2+
c
2=
c
2=
,∴c
2=1,a
2=2,b
2=1,此时椭圆方程为
+y
2=1.P点坐标为
.