Question

如图，点P在△ABC内，AB=CP=2，BC=3，∠P+∠B=π，记∠B=α．
（1）试用α表示AP的长；
（2）求四边形ABCP的面积的最大值，并写出此时α的值．

Answer 1

分析：（1）在三角形ABC中，由AB，BC及cosB，利用余弦定理列出关系式，记作①；在三角形APC中，由AP，PC及cosP，利用余弦定理列出关系式，记作②，由①②消去AC，得到关于AP的方程，整理后可用α表示AP的长；
（2）由三角形的面积公式表示出三角形ABC及三角形APC的面积，两三角形面积之差即为四边形ABCP的面积，整理后将表示出的AP代入，根据正弦函数的图象与性质即可求出四边形ABCP的面积的最大值，以及此时α的值．

解答：解：（1）△ABC与△APC中，AB=CP=2，BC=3，∠B=α，∠P=π-α，
由余弦定理得，AC²=2²+3²-2×2×3cosα，①
AC²=AP²+2²-2×AP×2cos（π-α），②
由①②得：AP²+4APcosα+12cosα-9=0，α∈（0，π），
解得：AP=3-4cosα；
（2）∵AP=3-4cosα，α∈（0，π），
∴S_{四边形ABCP}=S_△ABC-S_△APC
=

1

2

×2×3sinα-

1

2

×2×APsin（π-α）
=3sinα-（3-4cosα）sinα
=4sinα•cosα=2sin2α，α∈（0，π），
则当α=

π

4

时，S_max=2．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，诱导公式，以及三角函数的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．