Question

设函数f（x）=tanx-8sinx，其中．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对，，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）由f（x）=tanx-8sinx，得，
即 ，其中，解得，，
所以，函数f（x）的单调递增区间是：，递减区间是．
（2）若对，，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，
只需|f（x₁）-f（x₂）|_max≤a．
由（1）得 f（x）在区间 上单调递减，
所以，当时，-≤f（x₁）≤0，
同理，-≤f（x₂）≤0，
所以，-≤f（x₁）-f（x₂）≤，
所以0≤|f（x₁）-f（x₂）|≤，
所以|f（x₁）-f（x₂）|_max=，
所以，a≥．
分析：（1）求导函数，利用导数的正负可得函数的单调区间；
（2）对，，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，等价于|f（x₁）-f（x₂）|_max≤a，由此可求实数a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．