Question

已知向量

a

=(cos(ωx-

π

6

)，  sin(ωx-

π

4

))，  

b

=(sin(

2

3

π-ωx)， sin(ωx+

π

4

))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2

a

•

b

-1的图象相邻对称轴间距离为

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-

π

12

，  

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：利用平面向量的数量积运算，由两向量的坐标化简函数解析式，利用诱导公式变形后，再根据二倍角的正弦、余弦函数公式化简，最后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
（Ⅰ）由函数的周期为π，利用化简后的解析式找出x的系数为2ω，代入周期公式列出ω的方程，求出方程的解即可得到ω的值；
（Ⅱ）由x的范围，求出这个角的范围，根据自变量的范围，求出正弦函数的值域，即为函数的值域．

解答：解：f(x)=2cos(wx-

π

6

)sin(

2

3

π-wx)+2sin(wx-

π

4

)•sin(wx+

π

4

)-1
=2cos(wx-

π

6

)cos(wx-

π

6

)+2sin(wx-

π

4

)cos(wx-

π

4

)-1
=2×

1+cos(2wx- π 3 )

2

+sin(2wx-

π

2

)-1=cos(2wx-

π

3

)-cos2wx
=

3

2

sin2wx-

1

2

cos2wx=sin(2wx-

π

6

)．（6分）
（Ⅰ）由条件知f（x）的最小正周期为π．（8分）  
即

2π

2w

=π，∴w=1．（9分）
（Ⅱ）f(x)=sin(2x-

π

6

)，x∈[-

π

12

，

π

2

]．
则2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5

6

π]，
∴sin(2x-

π

6

)∈[-

3

2

，1]．
即函数f（x）在[-

π

12

，

π

2

]上的值域为[-

3

2

，1]．（12分）

点评：此题考查了平面向量的数量积运算，诱导公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，灵活运用三角函数的恒等变换把函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．