Question

（本小题满分14分）如图，正方体的棱长为2，E为AB的中点．(Ⅰ)求证：(Ⅱ)求异面直线BD₁与CE所成角的余弦值；（Ⅲ）求点B到平面的距离.

Answer 1

(Ⅰ) 见解析  (Ⅱ)  （Ⅲ）

法一：（1）连接BD，由已知有   
得…………1分
又由ABCD是正方形，得：……2分     ∵与相交，∴……3分
（2）延长DC至G，使CG=EB，,连结BG、D₁G ，∵CG∥EB ，∴四边形EBGC是平行四边形.                                 
∴BG∥EC.  ∴就是异面直线BD₁与CE所成角…………………………5分
在中，   …………………6分
 
异面直线 与CE所成角的余弦值是………8分
（3）∵   ∴  又∵    ∴ 点E到的距离，有：   ，…………11分
又由 ， 设点B到平面的距离为，
则 ， 有，， 所以点B到平面的距离为…14分
解法二：（1）见解法一…3分
（2）以D为原点，DA、DC、为轴建立空间直角坐标系，则有B（2，2，0）、（0，0，2）、E（2，1，0）、C（0，2，0）、（2，0，2）∴（-2，-2，2），（2，-1，0）………5分
……7分即余弦值是   8分
（3）设平面的法向量为， 有：，，…8分
由：（0，1，-2），（2，-1，0）………9分
可得：，令，得 ………11分
由（0，1，0）有：点B到平面的距离为…14分