精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,数列{an}的前n项和Sn
(1)求an,Sn;           
(2)令bn=
1
an2-1
,(n∈N*)
,求证数列{bn}的前n项和Tn
1
4

(3)设集合M={m|m=2k,k∈Z,且1000≤k<1500},若存在m∈M,使对满足n>m的一切正整数n,不等式4Sn-8047>an2恒成立,这样的正整数m共有多少个?
分析:(1)等差数列{an},首项为a1,设公差为d,代入a3=7,a5+a7=26,求出d和首项,根据等差数列的性质,求出an,Sn
(2)把通项公式an,代入bn,利用裂项法求出其前n项和,再进行证明;
(3)集合M={m|m=2k,k∈Z,且1000≤k<1500},一共有500个元素,因为存在m∈M,使对满足n>m的一切正整数n,不等式4Sn-8047>an2①,把Sn和an代入①,求出n的范围,再求出满足集合M的元素;
解答:解:(1)∵等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,等差数列为d,
∴a1+2d=7①,2a1+10d=26②,
由①②可得,a1=3,d=2,
∴an=3+(n-1)×2=2n+1,
Sn=
n(a1+an)
2
=
n(3+2n+1)
2
=n(n+2);
(2)bn=
1
a
2
n
-1
=
1
(2n+1)2-1
=
1
4
1
n
-
1
n+1

Tn=
1
4
(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
)=
1
4
(1-
1
n+1
)<
1
4

(3)集合M={m|m=2k,k∈Z,且1000≤k<1500},
存在m∈M,使对满足n>m的一切正整数n,不等式4Sn-8047>an2恒成立,
∴4×n×(n+2)-8047>(2n+1)2
推出4n>8048,解得n>2012,
∴2k>2012,解得k>1006,
∴M={1006,1007,…,1499},
一共有1499-1006+1=494,
∴这样的正整数m共有494个;
点评:此题主要考查等比数列和等差数列的性质及其应用,第三问难度比较大,不等式4Sn-8047>an2恒成立,代入进行求处n的范围,再进行判断,此题是一道中档题;
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知等差数列{an},公差d不为零,a1=1,且a2,a5,a14成等比数列;
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足bn=an3n-1,求数列{bn}的前n项和Sn

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知等差数列{an}中:a3+a5+a7=9,则a5=
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知等差数列{an}满足:a5=11,a2+a6=18.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=an+q an(q>0),求数列{bn}的前n项和Sn

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10
(1)求数列{an}的通项公式;     
(2)求数列{|an|}的前n项和;
(3)求数列{
an2n-1
}的前n项和.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知等差数列{an}中,a4a6=-4,a2+a8=0,n∈N*
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若{an}为递增数列,请根据如图的程序框图,求输出框中S的值(要求写出解答过程).

查看答案和解析>>

同步练习册答案