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(07年全国卷Ⅱ理)(12分)已知函数f(x)=x3-x

(1)求曲线y=f(x)在点M(t, f(t))处的切线方程

(2)设a>0,如果过点(a, b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:-a

解析:(1)求函数的导数;

       曲线在点处的切线方程为:

             

       即   

(2)如果有一条切线过点,则存在,使

      

于是,若过点可作曲线的三条切线,则方程

      

有三个相异的实数根.

记   

则   

               

变化时,变化情况如下表:

0

0

0

极大值

极小值

的单调性,当极大值或极小值时,方程最多有一个实数根;

时,解方程,即方程只有两个相异的实数根;

时,解方程,即方程只有两个相异的实数根.

综上,如果过可作曲线三条切线,即有三个相异的实数根,则

即   

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