Question

17．已知直线l与圆C：x²+y²+2x-4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．
（1）求实数a的取值范围及直线l的方程；
（2）已知N（0，-3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=$\sqrt{3}$PN，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用配方法得到圆的标准方程，根据直线垂直的条件：斜率之积为-1，点与圆的位置关系即可求出a的取值范围；
（2）利用PM=$\sqrt{3}$PN，可得圆的方程，结合两个圆相交，求实数a的取值范围．

解答 解：（1）圆的标准方程为（x+1）²+（y-2）²=5-a，
则圆心C（-1，2），半径r=$\sqrt{5-a}$，
∵弦AB的中点为M（0，1）．
∴点M在圆内部，即$\sqrt{{1}^{2}+（1-2）^{2}}$＜$\sqrt{5-a}$，
∴5-a＞2，即a＜3．
∵弦的中点为M（0，1）．
∴直线CM的斜率k=$\frac{2-1}{-1-0}$=-1，
则直线l的斜率k=1，
则直线l的方程为y-1=x，即x-y+1=0．
（2）设P（x，y），由|PM|=$\sqrt{3}$|PN|，
可得$\sqrt{（x-0）^{2}+（y-1）^{2}}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{（x-0）^{2}+（y+3）^{2}}$，
化简可得，x²+（y+5）²=12，
即为P的轨迹为圆心（0，-5），半径为2$\sqrt{3}$的圆．
据题意：两个圆相交：|$\sqrt{5-a}$-2$\sqrt{3}$|＜$\sqrt{1+（2+5）^{2}}$＜$\sqrt{5-a}$+2$\sqrt{3}$，
解得-57-20$\sqrt{6}$＜a＜-57+20$\sqrt{6}$，且-57+20$\sqrt{6}$＜3，
则实数a的取值范围是（-57-20$\sqrt{6}$，-57+20$\sqrt{6}$）．

点评 本题主要考查直线和圆的方程的应用，同时考查点与圆及圆与圆的位置关系，利用配方法将圆配成标准方程是解决本题的关键．