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    【题目】已知抛物线：的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点，的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为.

    （1）求抛物线的方程；

    （2）已知点，设不垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点，，若，证明直线过定点并写出定点坐标.

    【答案】（1）（2）证明见解析,恒过定点

    【解析】

    （1）先求出的外接圆的半径长，再利用抛物线的定义可求出的值，从而得出抛物线的方程；

    （2）设的方程为，，，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，等价于即可得到、的关系，即可得到直线恒过定点.

    解：（1）因为的外接圆与抛物线的准线相切，

    所以的外接圆的圆心到准线的距离等于半径，

    因为外接圆的周长为，所以圆的半径为3，

    又圆心在的垂直平分线上，，

    ，解得：，

    所以抛物线的方程为.

    （2）设的方程为，，，

    由得，，则.

    所以，，

    因为，所以，

    即，化简得，

    所以，所以，

    所以的方程为，恒过定点.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某地因受天气，春季禁渔等因素影响，政府规定每年的7月1日以后的100天为当年的捕鱼期.某渔业捕捞队对吨位为的20艘捕鱼船一天的捕鱼量进行了统计，如下表所示：

    捕鱼量(单位：吨)

    频数

    2

    7

    7

    3

    1

    根据气象局统计近20年此地每年100天的捕鱼期内的晴好天气情况如下表（捕鱼期内的每个晴好天气渔船方可捕鱼，非晴好天气不捕鱼）：

    晴好天气(单位：天)

    频数

    2

    7

    6

    3

    2

    （同组数据以这组数据的中间值作代表）

    （Ⅰ）估计渔业捕捞队吨位为的渔船单次出海的捕鱼量的平均数；

    （Ⅱ）已知当地鱼价为2万元/吨，此种捕鱼船在捕鱼期内捕鱼时，每天成本为10万元/艘，若不捕鱼，每天成本为2万元/艘，若以（Ⅰ）中确定的作为上述吨位的捕鱼船在晴好天气捕鱼时一天的捕鱼量.

    ①请依据往年天气统计数据，试估计一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的概率；

    ②设今后3年中，此种捕鱼船每年捕鱼情况一样，记一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的年数为，求的分布列和期望.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】惠州市某学校需要从甲、乙两名学生中选1人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的分数，统计结果如下表：

    第一次

    第二次

    第三次

    第四次

    第五次

    甲

    80

    85

    71

    92

    87

    乙

    90

    76

    75

    92

    82

    （1）若从甲、乙两人中选出1人参加数学竞赛，你认为选谁合适？请说明理由.

    （2）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中答题方案如下：

    每人从5道备选题中随机抽取3道作答，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰.假设被选中参赛的学生只会5道备选题中的3道，求该学生能进人复赛的概率.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.

    （Ⅰ）求证：；

    （Ⅱ）求证：平面；

    （Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】以下四个命题中正确的是（ ）

    A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

    B.若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底

    C.为直角三角形的充要条件是

    D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，，，，M是棱PC上一点，且，平面MBD．

    （1）求实数λ的值；

    （2）若平面平面ABCD，为等边三角形，且三棱锥P-MBD的体积为2，求PA的长．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】以下5条表述中，横线上填A代表“充分非必要条件”，填B代表“必要非充分条件”，填C代表“充要条件”，填D代表“既非充分也非必要条件”，请将相应的字母填入下列横线上.

    （1）若，则“是与的等比中项”是“”的_______.

    （2）“数列为常数列”是“数列既是等差数列又是等比数列”的_______.

    （3）若是等比数列，则“”是“为递减数列”的_______.

    （4）若是公比为的等比数列，则“”是“是递减数列”的_______.

    （5）记数列的前项和为，则“数列为递增数列”是“数列的各项均为大于零”的_______.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．

    根据折线图和条形图，下列结论错误的是（　　）

    A. 2012﹣2013 年研发投入占营收比增量相比 2017﹣2018 年增量大

    B. 该企业连续 12 年研发投入逐年增加

    C. 2015﹣2016 年研发投入增值最大

    D. 该企业连续 12 年研发投入占营收比逐年增加

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数．

    (1)求证：；

    (2)用表示中的最大值，记，讨论函数零点的个数．

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