Question

已知函数f（x）=ax²+kbx（x＞0）与函数g（x）=ax+blnx，a、b、k为常数，它们的导函数分别为y=f′（x）与y=g′（x）
（1）若g（x）图象上一点p（2，g（2））处的切线方程为：x-2y+2ln2-2=0，求a、b的值；
（2）对于任意的实数k，且a、b均不为0，证明：当ab＞0时，y=f′（x）与y=g′（x）的图象有公共点；
（3）在（1）的条件下，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂）是函数y=g（x）的图象上两点，g′(x0)=

y2-y1

x2-x1

，证明：x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

分析：（1）由g（x）=ax+blnx，知g（2）=2a+bln2，g′(x)=a+

b

x

，g′(2)=a+

b

2

，故g（x）图象上一点p（2，g（2））处的切线方程为y-2a-bln2=（a+

b

2

）（x-2），由此能求出a和b．
（2）由f（x）=ax²+kbx（x＞0），利用导数的性质和韦达定理能够证明当ab＞0时，y=f′（x）与y=g′（x）的图象有公共点．
（3）由a=0，b=1，知g（x）=lnx，由此进行分类讨论，能够证明x₁＜x₀＜x₂．

解答：解：（1）∵g（x）=ax+blnx，
∴g（2）=2a+bln2，g′(x)=a+

b

x

，
∴g′(2)=a+

b

2

，
∴g（x）图象上一点p（2，g（2））处的切线方程为：
y-2a-bln2=（a+

b

2

）（x-2），
整理，得（a+

b

2

）x-y+bln2-b=0，
∵g（x）图象上一点p（2，g（2））处的切线方程为：x-2y+2ln2-2=0，
∴

a+ b 2 =1 b=2

，解得a=0，b=1．
（2）∵f（x）=ax²+kbx（x＞0），
f′（x）=2ax+kb，
g′(x)=a+

b

x

，
原题即为ab＞0时，?k∈R有方程2ax+kb-a-

b

x

=0，
即

2ax2+(kb-a)x-b

x

=0在x＞0时有解．
∴2ax 2 +（kb-a）x-b=0在x＞0时有解，
∵两根之积为：-

b

2a

＜0，
△=（kb-a）²+8ab
=k²b²-2abk+a²+8ab，k∈R，
∴△′=4a²b²-4b²（a²+8ab）
=4a²b²-4a²b²-32ab³
=-32ab³＜0，
∴方程2ax 2 +（kb-a）x-b=0在x＞0时有解，
∴ab＞0时，y=f′（x）与y=g′（x）的图象有公共点．
（3）∵a=0，b=1，
∴g（x）=lnx，x＞0
∴g′(x)=

1

x

，
∴g′(x0)=

1

x0

=

lnx2-lnx1

x2-x1

，
∴x0=

x2-x1

lnx2-lnx1

=

x2-x1

ln x2 x1

，

∴x0-x1= x2-x1 ln x2 x1 -x1 = x2-x1-x1ln x2 x1 ln x2 x1 = x1 ln x2 x1 ( x2 x1 -1-ln x2 x1 )

令t=

x2

x1

，则t＞1，令h（t）=t-1-lnt，
则h′（x）=1-

1

t

=

t-1

t

＞0，
∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴x₀-x₁＞0，即x₀＞x₁．
同理可得：x₂＞x₀，
综上述：x₁＜x₀＜x₂．

点评：本题考查实数值的求法，考查图象的公共点的证明，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．