Question

15．对于给定的函数f（x）=a^x-a^-x（x∈R，a＞0，且a≠1），下面给出五个命题，其中真命题是①③④（只需写出所有真命题的编号）
①函数f（x）的图象关于原点对称；
②函数f（x）在R上不具有单调性；
③函数f（|x|）的图象关于y轴对称；
④当0＜a＜1时，函数f（|x|）的最大值是0；
⑤当a＞1时，函数f（|x|）的最大值是0．

Answer 1

分析 对5个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：f（x）=a^x-a^-x，f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），函数的奇函数，f（x）的图象关于原点对称，①正确；
f（x）=a^x-a^-x，当a＞1时是增函数，当0＜a＜＜A＜1时是减函数，命题（2）错误；F（|X|）=F（|-X|），所以F（|X|）的图象关于Y轴对称，命题（3）正确；当0＜A1时，函数f（x）是减函数，②不正确；
函数f（|x|）的图象关于y轴对称，③正确；
当0＜a＜1时，函数f（|x|）的最大值是0，④正确；
当a＞1时，函数f（x）没有最大值，函数f（|x|）的最大值是0，⑤不正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查命题的真假判断，考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．