Question

【题目】如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC是⊙O的直径，AB=AC=6，OE∥AD

（1）求二面角B﹣AD﹣F的大小；
（2）求直线BD与EF所成的角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AD与两圆所在的平面均垂直，

∴AD⊥AB，AD⊥AF，

∴∠BAF是二面角B﹣AD﹣F的平面角，

∵AB=AC，∠BAC=90°，O是BC的中点，

∴∠BAF= ∠BAC=45°．

即二面角 QUOTE 的大小为45°

（2）解：∵OA=OB，∠BAO=45°，∴∠AOB=90°．

以O为原点，以OB，OF，OE所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，

则O（0，0，0），A（0，﹣3 ，0），B（3 ，0，0），D（0，﹣3 ，8），E（0，0，8），F（0，3 ，0），

∵ =（﹣3 ，﹣3 ，8）， =（0，﹣3 ，8），

∴ =0+18+64=82．| |=10，| |= ．

∴cos＜ ＞= = = ．

故直线BD与EF所成的角为arccos ．

【解析】（1）由AD⊥平面⊙O可得AD⊥AB，AD⊥AF，故∠BAF即为所求角的平面角；（2）以O为原点建立空间直角坐标系，求出 ， 的坐标，求出cos＜ ， ＞即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间角的异面直线所成的角的相关知识，掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．