Question

已知函数，g（x）=x+a（a＞0）
（1）求a的值，使点M（f（x），g（x））到直线x+y-1=0的最短距离为；
（2）若不等式在x∈[1，4]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意得M到直线的距离，令
则
∵t≥0∴a≥1时，
即t=0时，∴a=30＜a＜1时，d_min=0，不合题意
综上a=3（6分）
（2）由
即上恒成立
也就是在[1，4]上恒成立
令，且x=t²，t∈[1，2]
由题意at²-2t+a²≤0在t∈[1，2]上恒成立
设?（t）=at²-2t+a²，则要使上述条件成立，只需
即满足条件的a的取值范围是（13分）
分析：（1）先用点到直线的距离公式表示距离，利用换元法，进而利用二次函数的配方法即可求解；
（2）将绝对值符号化去，从而转化为上恒成立，进而利用换元法转化为at²-2t+a²≤0在t∈[1，2]上恒成立，从而得解．
点评：本题以函数为载体，考查点线距离，考查恒成立问题，关键是掌握距离公式，熟练恒成立问题的处理策略．