Question

已知椭圆

x2

a2

+y²=1（a≥2），直线l与椭圆交于A、B两点，M是线段AB的中点，连接OM并延长交椭圆于点C．
（Ⅰ）设直线AB与直线OM的斜率分别为k₁、k₂，且k₁•k₂=-

1

2

，求椭圆的离心率．
（Ⅱ）若直线AB经过椭圆的右焦点F，且四边形OACB是平行四边形，求直线AB斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），则

x12 a2 +y12=1 x22 a2 +y22=1

，

(x1+x2)(x1-x2)

a2

+(y1+y2)(y1-y2)=0，
又x3=

x1+x2

2

，y3=

y1+y2

2

，k1=

y1-y2

x1-x2

，k2=

y3

x3

，再由k₁•k₂=-

1

2

能导出椭圆的离心率．
（2）由n=c，可知C（

2a2c

m2+a2

，-

2mc

m2+a2

），代入椭圆方程，得4c²=m²+a²．由kAB2=

1

m2

=

1

3a2-4

≤

1

8

，能导出k∈[-

2

4

，0)∪(0，

2

4

]．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），则

x12 a2 +y12=1 x22 a2 +y22=1

，两式相减，得：

(x1+x2)(x1-x2)

a2

+(y1+y2)(y1-y2)=0，
又x3=

x1+x2

2

，y3=

y1+y2

2

，k1=

y1-y2

x1-x2

，k2=

y3

x3

，
可得k2•k1=-

1

a2

=-

1

2

，
∴a2=2，e=

2

2

．（5分）
（2）由n=c，可知C（

2a2c

m2+a2

，-

2mc

m2+a2

），代入椭圆方程，得
4c²=m²+a²．（10分）
又c²=a²-1，a≥2，m≠0，
∴kAB2=

1

m2

=

1

3a2-4

≤

1

8

，
∴k∈[-

2

4

，0)∪(0，

2

4

]．（12分）

点评：本题考查椭圆的离心率的求法和直线的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意椭圆性质的灵活运用，合理地进行等价转化．