Question

【题目】设椭圆E的方程为 +y2=1（a＞1），O为坐标原点，直线l与椭圆E交于点A，B，M为线段AB的中点．
（1）若A，B分别为E的左顶点和上顶点，且OM的斜率为﹣ ，求E的标准方程；
（2）若a=2，且|OM|=1，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

则 ，两式相减，得 ，

即 ，又 ，

代入化简，解得a=2，

故E的标准方程为

（2）解：设直线l：x=my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），

∴ ，整理得：（4+m2）y2+3mny+n2﹣4=0①

y1+y2=﹣ ，y1y2= ，x1+x2= ，

由中点坐标公式可知：M（ ， ），即M（ ，﹣ ）

∵|OM|=1，

∴n2= ②，

设直线l与x轴的交点为D（n，0），

则 ，

令 ，

设t=m2+4（t≥4），

则 ，

当t=12时，即 时，

△AOB的面积取得最大值1

【解析】（1）将A和B代入椭圆方程，做差求得 ，由斜率公式可知kAB= ，即可求得a的值，求得E的标准方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式，即可求得M点坐标，由|OM|=1，可得n2= ，由三角形面积公式可知： ，t=m2+4（t≥4），代入由基本不等式的性质即可求得△AOB面积的最大值．