Question

5．两个半径分别为r₁，r₂的圆M，N，公共弦AB长为3，如图所示，则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{AB}$=9．

Answer 1

分析 可连接MN，从而可知MN⊥AB，且平分AB，设MN与AB交于O，则有$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{AB}$=$2\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$，根据$|\overrightarrow{AO}|=\frac{3}{2}，|\overrightarrow{AB}|=3$便可求出$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$，从而得出答案．

解答 解：如图，连接MN，交AB于O，则MN⊥AB，且MN把AB平分；

∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{AB}$=$（\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OM}）•\overrightarrow{AB}+（\overrightarrow{A0}+\overrightarrow{ON}）•\overrightarrow{AB}$
=$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}+0+\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}+0$
=$2\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=2×\frac{3}{2}×3=9$．
故答案为：9．

点评 考查两圆心的连线垂直且平分相交弦，向量加法的几何意义，向量垂直的充要条件，以及向量数量积的计算公式．