[题目]已知函数.(1)求的零点及单调区间,(2)求证:曲线存在斜率为8的切线.且切点的纵坐标. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知函数.

（1）求的零点及单调区间；

（2）求证：曲线存在斜率为8的切线，且切点的纵坐标.

【答案】（1）零点为，单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出方程的解即得零点，求出，讨论其符号后可得函数的单调区间.

（2）利用单调性和零点存在定理可证有解且，结合该零点满足的方程可证.

解：（1）的定义域为，令得.

又，

当时，，故单调递增；

当时，，故单调递减.

因此的零点为，单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）先证明存在斜率为8的切线.

，

要证曲线存在斜率为8的切线，即证在有解.

令，则，

故在上单调递减，

又，，

所以存在使得，得证.

接下来证明.

由上可知，.

因此，有

，

因为函数在单调递减，因此，

因此，欲证命题成立.

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	0项	1项	2项	3项	4项	5项	5项以上
理科生（人）	1	10	17	14	14	10	4
文科生（人）	0	8	10	6	3	2	1

（1）完成如下列联表，并判断是否有的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？

	比较了解	不太了解	合计
理科生
文科生
合计

（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.

（i）求抽取的文科生和理科生的人数；

（ii）从10人的样本中随机抽取3人，用表示这3人中文科生的人数，求的分布列和数学期望.

参考数据：

	0.100	0.050	0.010	0.001
	2.706	3.841	6.635	10.828

，.

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（1）应收集多少户山区家庭的样本数据？

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	超过2万元	不超过2万元	总计
平原地区
山区	5
总计

附：

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

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