【题目】已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1 , a2 , a5成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.
【答案】
(1)解:设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),
化简得d2﹣4d=0,解得d=0或4,
当d=0时,an=2,
当d=4时,an=2+(n﹣1)4=4n﹣2.
(2)解:当an=2时,Sn=2n,显然2n<60n+800,
此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,
当an=4n﹣2时,Sn= =2n2,
令2n2>60n+800,即n2﹣30n﹣400>0,
解得n>40,或n<﹣10(舍去),
此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41,
综上,当an=2时,不存在满足题意的正整数n,
当an=4n﹣2时,存在满足题意的正整数n,最小值为41
【解析】(1)设出数列的公差,利用等比中项的性质建立等式求得d,则数列的通项公式可得.(2)利用(1)中数列的通项公式,表示出Sn根据Sn>60n+800,解不等式根据不等式的解集来判断.
【考点精析】掌握数列的前n项和和等差数列的性质是解答本题的根本,需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;在等差数列{an}中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;相隔等距离的项组成的数列是等差数列.
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【题目】已知首项是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0.
(1)令cn= ,求数列{cn}的通项公式;
(2)若bn=3n﹣1 , 求数列{an}的前n项和Sn .
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【题目】如图,O为坐标原点,椭圆C1: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , 离心率为e1;双曲线C2: ﹣ =1的左、右焦点分别为F3 , F4 , 离心率为e2 , 已知e1e2= ,且|F2F4|= ﹣1.
(1)求C1、C2的方程;
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)= (|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2),若x∈R,f(x﹣1)≤f(x),则实数a的取值范围为( )
A.[﹣ , ]
B.[﹣ , ]
C.[﹣ , ]
D.[﹣ , ]
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【题目】已知函数, ,在处的切线方程为.
(1)求, ;
(2)若,证明: .
【答案】(1), ;(2)见解析
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,得到关于 的方程组,解出即可;
(2)由(1)可知, ,
由,可得,令, 利用导数研究其单调性可得
,
从而证明.
试题解析:((1)由题意,所以,
又,所以,
若,则,与矛盾,故, .
(2)由(1)可知, ,
由,可得,
令,
,
令
当时, , 单调递减,且;
当时, , 单调递增;且,
所以在上当单调递减,在上单调递增,且,
故,
故.
【点睛】本题考查利用函数的切线求参数的方法,以及利用导数证明不等式的方法,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(, 为参数),以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,若直线与曲线相切;
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)在曲线上取两点, 与原点构成,且满足,求面积的最大值.
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【题目】已知是定义在上的函数,如果存在常数,对区间的任意划分:,和式恒成立,则称为上的“绝对差有界函数”,注:.
(1)求证:函数在上是“绝对差有界函数”;
(2)记集合存在常数,对任意的,有成立.
求证:集合中的任意函数为“绝对差有界函数”;
(3)求证:函数不是上的“绝对差有界函数”.
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【题目】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:
年入流量X | 40<X<80 | 80≤X≤120 | X>120 |
发电机最多可运行台数 | 1 | 2 | 3 |
若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元,若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?
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【题目】已知点p(1,m)在抛物线上,F为焦点,且.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点T(4,0)的直线交抛物线C于A,B两点,O为坐标原点,求的值.
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【题目】下列说法中正确的是
A. 先把高三年级的2000名学生编号:1到2000,再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生,其编号为,然后抽取编号为的学生,这样的抽样方法是分层抽样法
B. 线性回归直线不一定过样本中心点
C. 若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的值越接近于1
D. 若一组数据1、、3的平均数是2,则该组数据的方差是
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