Question

已知命题p：方程

x2

k-4

+

y2

k-6

=1表示双曲线；命题q：过点M（2，1）的直线与椭圆

x2

5

+

y2

k

=1恒有公共点，若p与q中有且仅有一个为真命题，求k的取值范围．

Answer 1

分析：由命题p：方程

x2

k-4

+

y2

k-6

=1表示双曲线，知（k-4）（k-6）＜0；由命题q：过点M（2，1）的直线与椭圆

x2

5

+

y2

k

=1恒有公共点，知M在椭圆内．再由p与q中有且仅有一个为真命题，知p真q假，或p假q真．分别
讨论，能求出k的取值范围．

解答：解：∵命题p：方程

x2

k-4

+

y2

k-6

=1表示双曲线，
∴（k-4）（k-6）＜0，解得4＜k＜6
∵命题q：过点M（2，1）的直线与椭圆

x2

5

+

y2

k

=1恒有公共点，
∴M在椭圆内，即

22

5

+

12

k

＜1，且k＞0，解得k＞5
∵p与q中有且仅有一个为真命题，
∴p真q假，或p假q真
当p真q假时，

4＜k＜6 k≤5

，解得4＜k≤5；
当p假q真时，

k≤4或k≥6 k＞5

，解得k≥6．
综上取并集，得k的取值范围{k|4＜k≤5或k≥6}．

点评：本题考查参数的取值范围的求法，解题时要涉及到双曲线、椭圆、命题等基本知识点，要注意等价转化思想的合理运用．