Question

【题目】如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点．将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥PDCE的外接球的体积为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据等腰梯形的边长和角度，可知三角形都是等边三角形，故三棱锥是正三棱锥.利用正三棱锥的结构，设出球心的位置，利用勾股定理计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.

由于∠DAB＝60°，则三棱锥P—DCE各边长度均为1，那么三棱锥P—DCE为正三棱锥，P点在底面DCE的投影为等边△DCE的中心，设中心为O，则有OD=OE=OC=，在直角△POD中，OP2=PD2－OD2=，即OP=，由于外接球的球心必在OP上，设球心位置为O1，则O1P=O1D，设O1P=O1D=R，则在直角△OO1D中，+OD2=O1D2，则(OP－O1P)2+OD2=O1D2，即(－R)2+()2=R2，解得R=，故三棱锥P—DCE的外接球的体积为V=πR3=π．故选A.