Question

设E，F是正方体AC₁的棱AB和D₁C₁的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A₁ECF成60°角的对角线的数目是（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6

Answer 1

【答案】分析：先把六个面分为三组，在一组组的进行研究，找到直线与截面法向量的夹角即可得到结论．
解答：解：首先，把六个面分成三组，AA₁D₁D和BB₁C₁C对截面的关系是一样的，其他四个是一样的，
以点D为原点，AD所在直线为X轴，DC所在直线为Y轴，DD₁所在直线为Z轴，
设正方体棱长为2；
则A（2，0，0），D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（2，1，0），
F（0，1，2），A₁（2，0，2），B₁（2，2，2，），C₁（0，2，2），D₁（0，0，2）；
∴=（-2，1，0），=（（0，1，2），=（-2，2，0），
=（-2，-2，0），=（-2，0，-2），=（0，-2，-2）；=（0，2，-2）
因为要想面对角线截面A₁ECF成60°角，需要直线与法向量的夹角为30度，即其余弦值为±．
设截面A₁ECF的法向量为=（x，y，z），
由⇒⇒=（1，2，1），且||=，
因为cos＜，＞===≠±；
cos＜，＞==-，
cos＜，＞=≠±；
cos（，＞==-；
cos＜，＞=≠±；
再看AA₁D₁D这个面里，
AD₁与EF平行，不是，
所以，一共四条．
故选：C．
点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系、直线与平面所成的角，解决此题的关键是熟练掌握正方体的结构特征，考查学生的空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．