A. | 3$\sqrt{2}$ | B. | 3$\sqrt{3}$ | C. | 2$\sqrt{2}$ | D. | 2$\sqrt{3}$ |
分析 由题意得点M到点F(1,0)的距离等于M到直线x=-1的距离,根据抛物线定义,可得点M的轨迹是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线,求出点M的轨迹方程;算出直线AB的方程为y=x-1,与抛物线方程联解,消去y可得y2-4y-4=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2),利用一元二次方程根与系数的关系算出|y1-y2|=4$\sqrt{2}$,再根据三角形面积公式加以计算,可得△AB0的面积.
解答 解:设M(x,y),
∵动点M到点F(1,0)的距离与M到定直线x+1=0的距离相等,
∴点M到点F(1,0)的距离等于M到直线x=-1的距离,
由抛物线定义得:点M的轨迹是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线
设抛物线方程为y2=2px(p>0),可得$\frac{p}{2}$=1,p=2,
∴抛物线的方程为y2=4x,即为点M的轨迹方程;
∵直线的倾斜角为45°,
∴直线的斜率k=tan45°=1,
可得直线的方程为y=1×(x-1),即y=x-1.
与y2=4x联立,消去x,整理得y2-4y-4=0.
设A(x1,y1)、B(x2,y2),则y1+y2=4,y1y2=-4,
∴|y1-y2|=$\sqrt{16-4×(-4)}$=4$\sqrt{2}$,
因此,△AB0的面积S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y1-y2|=$\frac{1}{2}×1×4\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$.
故选:C.
点评 本题求动点M的轨迹方程,并依此求满足条件的△AB0的面积.着重考查了抛物线的定义与标准方程、一元二次方程根与系数的关系、直线与圆锥曲线的位置关系等知识,属于中档题.
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A. | f(x)=x-3 | B. | f(x)=x3 | C. | f(x)=3-x | D. | f(x)=3x |
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