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已知圆C1:x2+y2-4x+3=0,圆C2:x2+y2-8y+15=0,动点P到圆C1,C2上点的距离的最小值相等.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)直线l:mx-(m2+1)y=4m,m∈R,是否存在m值使直线l被圆C1所截得的弦长为
6
3
,若存在,求出m值;若不存在,说明理由.
(1)设动点P的坐标为(x,y),圆C1的圆心C1坐标为(2,0),半径为1;圆C2的圆心C2坐标为(0,4),半径为1;…2分
因为动点P到圆C1,C2上的点距离最小值相等,所以|PC1|=|PC2|…4分
(x-2)2+y2
=
x2+(y-4)2
,化简得x-2y+3=0.
因此点P的轨迹方程是x-2y+3=0.…6分
(2)直线l的方程可化为y=
m
m2+1
x-
4m
m2+1
,直线l的斜率k=
m
m2+1

因为|m|≤
1
2
(m2+1)
,所以|k|=
|m|
m2+1
1
2
,当且仅当|m|=1时等号成立.
所以,k2
1
4
…8分
所以l的方程为y=k(x-4),其中|k|≤
1
2

圆心C1到直线l的距离d=
|2k|
k2+1
…10分
故设直线被圆C1所截得的弦长为a,由(
a
2
)2=r2-d2

当a=
6
3
时有(
|2k|
k2+1
)2=1-(
6
6
)2
…12分
解得k2=
5
19
1
4
…13分
所以不存在m值使直线被圆C1所截得的弦长为
6
3
,…14分
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