Question

18．已知e是自然对数的底数，函数f（x）的定义域为R，2^f（x）•2^f′（x）＞2，f（0）=27${\;}^{\frac{2}{3}}$-2${\;}^{lo{{g}_{2}}{3}}$×log₂$\frac{1}{8}$+2lg（$\sqrt{3+\sqrt{5}}$+$\sqrt{3-\sqrt{5}}$）-11，则不等式$\frac{f（x）-1}{{e}^{ln7-x}}$＞1的解集为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 由题意可得f（x）+f′（x）＞1，令 g（x）=e^x[f（x）-1]，可得 g′（x）=[f（x）+f′（x）-1]＞0，故函数 g（x）=e^x•[f（x）-1]为增函数．不等式即 $\frac{g（x）}{{e}^{x}（7-x）}$＞1①．检验当x＞7、x=0时，①不成立，从而得到答案．

解答 解：由函数f（x）的定义域为R，2^f（x）•2^f′（x）=2^{[f（x）+f′（x）]}＞2，∴f（x）+f′（x）＞1．
令 g（x）=e^x[f（x）-1]，可得 g′（x）=e^x[f（x）+f′（x）-1]＞0，
故函数 g（x）=e^x•[f（x）-1]为增函数．
g（0）=f（0）-1=7，
f（0）=27${\;}^{\frac{2}{3}}$-2${\;}^{lo{{g}_{2}}{3}}$×log₂$\frac{1}{8}$+2lg（$\sqrt{3+\sqrt{5}}$+$\sqrt{3-\sqrt{5}}$）-11
=9-3×（-3）+lg（3+$\sqrt{5}$+3-$\sqrt{5}$+2$\sqrt{9-5}$）-11=9+9+lg10-11=8，
不等式$\frac{f（x）-1}{{e}^{ln7-x}}$＞1，即$\frac{{e}^{x}[f（x）-1]}{7}$＞1，即e^x•[f（x）-1]=g（x）＞7=g（0），
∴x＞0
故选：B．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对数的运算性质，分式不等式的解法，属于中档题．