Question

5．已知函数f（x）=2cos⁴x+2sin²x•cos²x+2$\sqrt{3}$sinx•cosx-1，x∈R．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（π-$\frac{A}{2}$）=-1，a=2，求BC边上的高的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）提取公因式后利用平方关系化简，降幂后利用辅助角公式化积，再由周期公式求得周期；
（Ⅱ）由f（π-$\frac{A}{2}$）=-1求得A，再结合正弦定理和余弦定理求BC边上的高的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2cos⁴x+2sin²x•cos²x+2$\sqrt{3}$sinx•cosx-1
=$2co{s}^{2}x（co{s}^{2}x+si{n}^{2}x）+\sqrt{3}sin2x-1$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
∴函数f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$；
（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x$+\frac{π}{6}$），
∴f（π-$\frac{A}{2}$）=2sin（2π-A$+\frac{π}{6}$）=-2sin（A-$\frac{π}{6}$）=-1，
即$sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．
∵0＜A＜π，∴$-\frac{π}{6}＜A-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，则A=$\frac{π}{3}$．
设BC边上的高为h，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$a•h，即bc=$\frac{4\sqrt{3}}{3}h$，h=$\frac{\sqrt{3}}{4}bc$，
∵a²=b²+c²-2bc•cosA=b²+c²-bc，
∴bc+4=b²+c²≥2bc，当且仅当b=c时，等号成立．
∴bc+4≥2bc，bc≤4，此时b=c，
∵A=$\frac{π}{3}$，
∴b=c=a=2，等号能成立．
∴此时h=$\sqrt{3}$．
∴h的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，主要考查了正弦定理，余弦定理，及三角函数的诱导公式，考查了基础的知识的综合运用，是中档题．