Question

例2：已知f（x）=ax²+bx+c的图象过点（-1，0），是否存在常数a、b、c，使不等式x≤f（x）≤

x2+1

2

对一切实数x都成立？

Answer 1

分析：通过图象过一点得到a、b、c一关系式，观察发现1≤f（1）≤1，又可的一关系式，再将b、c都有a表示．不等式x≤f（x）≤

x2+1

2

对一切实数x都成立可转化成两个一元二次不等式恒成立，即可解得．

解答：解：∵f（x）的图象过点（-1，0），∴a-b+c=0①
∵x≤f（x）≤

x2+1

2

对一切x∈R均成立，
∴当x=1时也成立，即1≤a+b+c≤1．
故有a+b+c=1．②
由①②得b=

1

2

，c=

1

2

-a．
∴f（x）=ax²+

1

2

x+

1

2

-a．
故x≤ax²+

1

2

x+

1

2

-a≤

x2+1

2

对一切x∈R成立，
也即

ax2- 1 2 x+ 1 2 -a≥0 (1-2a)x2-x+2a≥0

恒成立?

△1≤0 △2≤0 a＞0 1-2a＞0

?

1 4 -4a( 1 2 -a)≤0 1-8a(1-2a)≤0 a＞0 1-2a＞0.

解得a=

1

4

．∴c=

1

2

-a=

1

4

．
∴存在一组常数a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

，使不等式x≤f（x）≤

x2+1

2

对一切实数x均成立．

点评：本题考查了函数恒成立问题，以及不等式的证明，赋值法（特殊值法）可以使“探索性”问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法．