Question

下列命题：①若a＞b，则ac²＞bc²；②若ac²＞bc²，则a＞b；
③若a＞b，c＞d则a-d＞b-c；④若a＞b，则a³＞b³；
⑤若a＞b，则lg（a²+1）＞lg（b²+1），⑥若a＜b＜0，则a²＞ab＞b²；
⑦若a＜b＜0，则|a|＞|b|；⑧若a＜b＜0，则

b

a

＞

a

b

；
⑨若a＞b且

1

a

＞

1

b

，则a＞0，b＜0；⑩若c＞a＞b＞0，则

a

c-a

＞

b

c-b

；
其中正确的命题是

 

．

Answer 1

分析：对于命题①②③⑥⑨利用作差法找到已知式子的等价变形的式子，借助于不等式的基本性质加以判断，对于④直接利用不等式的指数性质即可判断，对于⑤利用对数函数的单调性加以判断即可，对于⑦由于a＜b＜0，利用绝对值的意义即可判断|a|＞|b|是正确的，对于⑧采用分式作差并通分技巧可以做出判断，对于⑩若c＞a＞b＞0对于要证明的式子利用不等式的性质构造一些不等式，在利用不等式的性质即可加以推得．

解答：解：对于①②中ac²＞bc²?（a-b）c²＞0?

c≠0 a＞b

，对于①若a＞b，当c=0时，就得不到ac²＞bc²，所以①错；
对于②已知ac²＞bc²，说明c≠0，只能得到a＞b，所以②正确；
对于③∵c＞d∴-c＜-d 又由于

a＞b -d＞-c

?a-d＞b-c，有不等式的同向可加性质可以知道③正确；
对于④，利用不等式的指数性质可知④正确；
对于⑤，由于a＞b，不知道a，b的正负，所以a²与b²的大小不能确定，在利用对数函数的单调性可知⑤得到大小不确定，所以⑤错误；
对于采用分析法⑥要求证a²＞ab＞b²?

a2-ab＞0 b2-ab＜0

?

a(a-b)＞0 b(b-a)＜0

∵a＜b＜0∴a-b＜0，可以知道此题正确；
对于⑦由于a＜b＜0，利用绝对值的意义即可判断|a|＞|b|是正确的；
对于⑧若a＜b＜0，则

b

a

＞

a

b

，因为

b

a

-

a

b

=

b2-a2

ab

＞0 由于a＜b＜0，所以ab＞0，且b²＜a² 则推出

b

a

-

a

b

应该按条件小于0，所以⑧错；
对于⑩若c＞a＞b＞0，所以c-a＞0且c-b＞0且c-b＞c-a＞0?

1

c-a

＞

1

c-b

＞0 又由于a＞b＞0，有不等式的正直同向可乘性质可以得到

a

c-a

＞

b

c-b

，所以正确；
故答案为②③④⑥⑦⑨⑩．

点评：此题考查了不等式的基本性质，对数函数的单调性质，还考查了证明不等式时的等价变形及作差的技巧，还考查了绝对值的意义．