Question

（2013•通州区一模）已知椭圆的中心在原点O，短半轴的端点到其右焦点F（2，0）的距离为

10

，过焦点F作直线l，交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆上有一点C，使四边形AOBC恰好为平行四边形，求直线l的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由焦点坐标可得c，由短轴端点到焦点距离可得a，根据a²=b²+c²可得b；
（Ⅱ）可判断直线l⊥x轴时，不符合题意；设直线l的方程为y=k（x-2），点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把l方程代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由四边形AOBC为平行四边形，得

OA

+

OB

=

OC

，根据韦达定理可得点C的坐标，代入椭圆方程即可求得k值；

解答：解：（Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
则a=

10

，c=2．
所以b=

a2-c2

=

10-4

=

6

，
所以椭圆方程为

x2

10

+

y2

6

=1．
（Ⅱ）若直线l⊥x轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线l对称，此时点C坐标为（2c，0）．
因为2c＞a，所以点C在椭圆外，所以直线l与x轴不垂直．                  
于是，设直线l的方程为y=k（x-2），点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x2 10 + y2 6 =1 y=k(x-2)

，整理得，（3+5k²）x²-20k²x+20k²-30=0，
x1+x2=

20k2

3+5k2

，所以y1+y2=-

12k

3+5k2

．
因为四边形AOBC为平行四边形，所以

OA

+

OB

=

OC

，
所以点C的坐标为(

20k2

3+5k2

，-

12k

3+5k2

)，
所以

( 20k2 3+5k2 )2

10

+

(- 12k 3+5k2 )2

6

=1，解得k²=1，
所以k=±1．

点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查向量的运算，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论思想，属中档题．