【题目】已知点A,B分别为椭圆E: 的左,右顶点,点P(0,﹣2),直线BP交E于点Q, 且△ABP是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设过点P的动直线l与E相交于M,N两点,当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时,求直线l斜率的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)由题意知:△ABP是等腰直角三角形,a=2,B(2,0),
设Q(x0,y0),由 ,则 ,
代入椭圆方程,解得b2=1,
∴椭圆方程为 .
(Ⅱ)由题意可知,直线l的斜率存在,方程为y=kx﹣2,设M(x1,y1),N(x2,y2),
则 ,整理得:(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,
由韦达定理可知:x1+x2= ,x1x2= ,
由直线l与E有两个不同的交点,则△>0,
即(﹣16k)2﹣4×12×(1+4k2)>0,解得:k2> ,…①
由坐标原点O位于以MN为直径的圆外,则 ,即x1x2+y1y2>0,
则x1x2+y1y2=x1x2+(kx1﹣2)(kx2﹣2)
=(1+k2)x1x2﹣2k×(x1+x2)+4
=(1+k2) ﹣2k× +4>0,
解得:k2<4,…②
综合①②可知: <k2<4,解得 <k<2或﹣2<k<﹣ ,
直线l斜率的取值范围(﹣2,﹣ )∪( ,2).
【解析】(Ⅰ)由题意可知:由 ,求得Q点坐标,即可求得椭圆E的方程;(Ⅱ)设直线y=kx﹣2,代入椭圆方程,由韦达定理,由△>0,由坐标原点O位于以MN为直径的圆外,则 ,由向量数量积的坐标公式,即可求得直线l斜率的取值范围.
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【题目】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量 与 平行.
(1)求 的值;
(2)若bcosC+ccosB=1,△ABC周长为5,求b的长.
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【题目】如图,O为总信号源点,A,B,C是三个居民区,已知A,B都在O的正东方向上,OA=10km,OB=20km,C在O的北偏西45°方向上,CO=5 km.
(1)求居民区A与C的距离;
(2)现要经过点O铺设一条总光缆直线EF(E在直线OA的上方),并从A,B,C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF.假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比,比例系数为m(m为常数).设∠AOE=θ(0≤θ<π),铺设三条分光缆的总费用为w(元). ①求w关于θ的函数表达式;
②求w的最小值及此时tanθ的值.
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【题目】点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC= ,∠ABC=90°,若四面体ABCD体积的最大值为3,则这个球的表面积为( )
A.2π
B.4π
C.8π
D.16π
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,PA=PD=AD=2
(1)点M在线段PC上,PM=tPC,试确定t的值,使PA∥平面MQB;
(2)在(1)的条件下,若平面PAD⊥平面ABCD,求二面角M﹣BQ﹣C的大小.
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【题目】已知椭圆M: =1(a>b>0)的离心率为 ,左焦点F1到直线 的距离为3,圆N的方程为(x﹣c)2+y2=a2+c2(c为半焦距),直线l:y=kx+m(k>0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点,分别设为A,B.
(1)求椭圆M的方程和直线l的方程;
(2)在圆N上是否存在点P,使 ,若存在,求出P点坐标,若不存在,说明理由.
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